「数理科学」の１９７０年の１２月号「有限群特集」は，私にとって思い出深い号である．
この年に私は大学院に進学し，研究者としての第一歩を踏み出していた．
専門は有限単純群論と決めていたものの，教えを受けるつもりだった近藤武先生は，丁度Princeton高等研究所に行かれた後であり，同じ専門の先生は他にいらっしゃらないので，しかたなく一人で勉強していた．
そんな折り突如として数理科学に有限群特集号が出たのである．
情報に飢えていた私は，空腹の時に思い掛けず山盛りの御馳走を出された人のように，その号を貪り読んだ．
とくに冒頭の「有限群の最近の発展」という座談会の記事は，傍線を引きながら繰返し繰返し読んだ．
そのため，表紙が取れてしまったが，補修をして２０年たった今でも手もとにある．
この座談会の出席者を，所属は当時のままにあげると次のようになる（敬称略）．
永尾汎（大阪大学），鈴木通夫（Illinois大学），伊藤昇（Illinois大学），近藤武（Princeton高等研究所），原田耕一郎（Illinois大学），都筑俊郎（北海道大学，司会）．
有限単純群論のメッカであったアメリカで活躍中の４氏を含めた錚々たる顔ぶれである．
そのことからお分かりのように，これは架空座談会であり，出席者からの手紙などを元にした都筑先生の創作である．
そのため，この記事には座談会の記録にありがちの散漫雑然としたところがなく，単純群研究の最新の動向が生き生きと描かれた，読みごたえのある記事となっていた．
そこで私は，１９７０年前後から１９８０年の単純群分類の完成に至るまでの疾風怒濤のような動きを，Thompson, Gorenstein, Aschbacherという三人の大立者の業績に焦点を当てながら追ってみることにしたい．
１．Thompsonの業績
１９７０年という年は，Niceでの国際数学者会議において，Thompsonが有限群論における業績によりFields賞を授与された年である．
このときの記念写真を見ると，同時にこの賞を授与された広中平祐先生などと並んで，若々しい髭のないThompsonが微笑んでいる．
全員がダークスーツ姿で，去年の京都の会議でのてんでんばらばらの服装での授賞式と比べると，随分きちんとしているという印象を受ける．
時代の違いか，京都の暑さのためか．
Thompsonの受賞の理由となった主な業績は次の三つである．
（１）素数位数で固定点なしの自己同形を持つ有限群がベキ零群であることの証明．
（２）奇数位数の単純群が可換群であることの証明（Feitと共同で）．
（３）N-群の分類．
これらは有限単純群の分類にとって計り知れない重要性を持っているので，以下その内容を簡単に紹介しよう．
（１）は今世紀初頭からのFrobenius予想を解決したものであり，当時大評判になったという．
証明は大変複雑であり，今ではずっと簡単な証明が有るので，原論文を今読む価値はあまり無いかもしれない．
しかし，現在local group-theoretic analysisとして有限群研究者の常識になっている方法が産みだされる端緒は，この論文にあったと言われている．
ちなみに，Thompsonの原論文には複雑な部分群束の絵が描かれている．
このような絵は，論文に実際に描かれるのは珍しいが，local group-theoretic analysisを理解するためには欠くことのできないものである．
（１）の系として，いわゆるFrobenius群という置換群のFrobenius核がベキ零群であることが分かる．
これが鍵となって，Zassenhaus群と呼ばれる二重可遷置換群が分類され（Zassenhaus-Feit-鈴木-伊藤による），それがまた，階数１のLie型の群の特徴づけのための大きな第一歩となった．
これが（１）の単純群論における意義である．
（２）は非可換単純群は偶数位数をもち，したがって位数２の元を持つことを意味する．
一方それ以前に，Brauer-Fowlerによって，偶数位数の単純群Gの位数と，Gの位数２の元の中心化群Hの位数との間には，不等式
|G|＜f(|H|), f(x)はある関数
が成り立つことが証明されていた．
このことは，Gの構造がHの構造によって決まってしまうことを意味する．
そこでBrauerは，偶数位数の単純群を位数２の元の中心化群の構造によって分類するというプログラムを提唱し，鈴木等とともにこの研究を旺盛に推進していた．
（２）はこのプログラムに礎を提供したのである．
ある飛行場でBrauerとFeitがばったり出会ったときのこと，Feitが奇数位数の単純群を研究していると聞いていたBrauerは，Feitにこう言ったという．
「奇数位数の単純群より偶数位数の単純群の方が手掛りが多く有望だから，そっちをやってみないか？」
奇数位数の単純群の可換性を証明せよという問題は，Burnsideが今世紀初頭に提出して以来難問として有名なもので，それが今解けようとは誰も思っていなかったので，愛弟子を案じての忠告だったと思われる．
Feitの答えはこうだったという．
「いえ先生，奇数位数の単純群の方が簡単です．
実際，私はついこの間，奇数位数の単純群は可換群であることの証明を完成したところです．」
これは原田先生から伺った話である．
Feit-Thompsonによる（２）の証明は背理法によるもので，奇数位数の非可換単純群の中で位数の一番小さいものを考察する．
このような群では，真の部分群はすべて可解群となる．
しかも，証明の多くの部分においては，位数が奇数であることではなく，真の部分群が可解群であるという性質だけが必要となる．
このことに気付いたThompsonは，「真の部分群がすべて可解であるような非可換単純群」すなわち「極小単純群」の研究へと導かれた．
Thompsonはさらに，すべての真部分群が可解であることは必要でなく，「p-局所部分群」すなわち「自明でないp-部分群の正規化群」が，すべての素数pに対して可解であれば十分であることに気付いた．
この条件をみたす群が「N-群」と呼ばれ，（３）において研究されたものである．
この論文では，その後の有限群論において重要な役割を果たすことになる実に様々な手法，技法が編みだされ，また，単純群分類の指導原理となる考え方が出された．
たとえばThompsonは，有限群Gの2-局所部分群に含まれるような可換かつ位数が奇素数ベキの群の階数の最大値をe(G)で表し，N-群Gをe(G)の値によって分類した．
分類の結果出てくる群の多くは，標数が２で階数の小さいLie型の群であるが，標数２のLie型の群Gでは，e(G)はLie階数の近似値となっている．
このようにThompsonは，Lie型の群のLie階数を抽象的に捉えることに，早い時期に成功していたのである．
また，標数２のLie型の群では，極大2-局所部分群と極大放物型部分群とは同義となる．
したがって，Thompsonが2-局所部分群に注目したのは，全く理にかなったことなのである．
ところで，有限群Xの最大の奇数位数正規部分群をO(X)で表し，Xの「核」と呼ぶ．
N-群の位数２の元の中心化群Cは可解群であり，したがってO(X)＝{1}なる確率は０に等しい．
しかしそれに反し，標数２のLie型の群では，位数２の元の中心化群の核は{1}に等しい．
したがって，Thompsonは位数２の元の中心化群の核を処理する必要があった．
このためにThompsonが使った方法は，後にGorenstein, Walter等によりsignalizer functor法として発展させられて，単純群の分類に重要な役割を果たすことになる．
また，位数２の元の中心化群の核を処理するというThompsonが直面した問題は，単純群の分類にとって最大の難関として最後まで立ちはだかるのであるが，これについては後でまた触れることにしよう．
ところで，有限群論では背理法を使うことが多い．
背理法自体は珍しいのもではないが，有限群論では背理法による異常に長い証明が多い．
Feit-Thompsonの論文も255ページという長さである．
高名なＫ先生がこの傾向を評して，「論文の最初から在りもしない群が在ると仮定して，そんな長い証明をよく書けますね」とおっしゃったという．
しかし，これには誤解がある．
実際は背理法ではなく極自然な帰納法なのに，記述の経済のために背理法の形をとることが多いのである．
Feit-Thompsonの場合も，実際には「奇数位数の群は可解群である」という命題を位数に関する帰納法で証明している．
しかし，有限群論における証明が長く複雑になることが多いのは事実である．
それは何故だろうか？
これにつけて思い出すのは私の有限群論の先生の一人である飯高茂先生の次の言葉である．
「思えば有限群論は不思議な数学の分科である．
おそらく最も簡単な数学の抽象的なしかし実質的概念であって，誰でも問題の意味が納得できるにもかかわらず，しばしば証明は恐ろしく長く，しかも自給自足的である．」
この「自給自足的」ということこそ有限群論の本質であり，証明が長くなる理由ではないだろうか．
BrauerもThompsonの業績紹介講演の中で，次のようなことを言っている．
「有限群論では数学を良く知っていても役には立たない．」
またThompsonは，どんな技法を使ったかと問われて，あながち冗談でもなく「Sylowの定理です」と答えたという．
言い方は違っても，どちらも有限群論の自給自足性を指しているように思われる．
実際，私は（２）や（３）の論文を眺めていると，金槌と鏨（たがね）だけを使い，鋲作りから始めて軍艦を作りあげるというような，途方もない自給自足的な作業を連想する．
群指標の理論は，有限群論で使われる唯一の大がかりな道具であり，（２）の中では非常に重要な役割を果たしている．
しかし，（３）の中ではこれすら表立っては使われず，436ページ全編が，気の遠くなりそうな細かい組み合わせ論法で占められている．
このように，起重機のような大がかりな機械が役に立たないという有限群論の性格は，二三十年たった今でも変わっていないように見える．
しかし，有限群研究者が長くて複雑な証明に満足しているわけでは決してない．
（１）については間もなく，Thompson-Glaubermanの分解定理による簡単な証明が得られた．
この証明はGorensteinの教科書に納められ，ことの本質は今ではよく理解されるようになった．
（２）についてはBenderを初めとする人々による様々な部分的改良は行なわれたが，ことの本質の理解という点ではいまだ道遠しの感がある．
一方，（３）については，Thompsonの方法と違う方法での研究が進められていて，近い将来にドイツまたは日本で新しい証明が公表され，ことの本質の理解は一挙に進むものと思われる．
（２）についても，いずれの日にか，異なる原理による簡単な証明が得られることを期待したいものである．
２．Gorensteinの業績
Thompsonの項で述べたように，単純群を位数２の元の中心化群の構造によって分類することがBrauerにより提唱され，１９７０年にはすでに夥しい研究成果が積み上げられていた．
とくに広く研究されていたのは，次のような「位数２の元の中心化群による特徴づけ問題」であった．
「G*を（たとえばPSL(n,q)のような）知られている単純群とし，H*をG*の位数２の元の中心化群とする．
単純群Gの位数２の元の中心化群HがH*と同形であるとき，GはG*と同形であることを証明せよ．」
このような研究が盛んに行なわれた結果，単純群の位数２の元の中心化群の構造を一般的に決めることができれば，単純群の分類が確かにできそうだということが明らかになってきた．
位数２の元の中心化群による特徴付け問題ではなく，位数２の元の中心化群そのものの構造の研究に向かうべき時期にさし掛かっていることは，１９７０年にはもう誰の目にも明らかであった．
この難問題にいち早く取り組んでいたのがGorensteinとWalterである．
Gorensteinは代数幾何学者として出発し，「Gorenstein環」にその名を残しているが，暗号に関係してABA-群なるものを研究したことが切っ掛けとなり，有限群論に入った．
単純群論での初仕事は，Sylow 2-群が二面体群であるような単純群は７次交代群かPSL(2,q), qは奇素数ベキ，に同形であることを証明したもので（Walterと共同の仕事），「Sylow 2-群による特徴付け」の先駆けとなったものである．
このように位数２の元の中心化群ではなく，Sylow 2-群による特徴付けから出発したことが，逆にGorensteinを位数２の元の中心化群の問題に向かわせることになった．
なぜならば，Sylow 2-群が二面体群であるような単純群Gの構造を決めるためには，Gの位数２の元の中心化群Cの構造を決めなければならない．
CはSylow 2-群とO(C)との積になることはすぐに分かるので，O(C)がPSL(2,q)などにおけると同じ構造をもつことを示すことが鍵となる．
このように，Gorensteinは必然的に，位数２の元の中心化群の構造を如何にして決めるか，とくにその核を如何に処理するかという，単純群分類の中心問題に突き当たったのである．
先に触れたように，ThompsonはN-群の研究において，すでに位数２の元の中心化群の核の問題に直面していた．
Gorenstein（とWalter）は位数２の元の中心化群の核の研究を進めるに際し，N-群をモデルとするとともに，独自のアイデアを加えて，いわゆるsignalizer functor法を創始した．
この方法の使われ方の例として，いわゆる均衡群定理について，Gorensteinの考え方の筋道を辿りながら説明しよう．
ここに，有限群のあるクラスＣがあって，Ｃに属する群の奇数位数正規部分群による商群はまたＣに属するとする．
このクラスの群Gについて次の命題を証明したいとしよう．
「Gの任意の位数２の元aに対してO(CG(a))⊂O(G)である」
これを位数についての帰納法で証明するとすれば，O(G)＝{1}と仮定してO(C
G(a))＝{1}なることを示せば良い．
しかし，この仮定を十分使っていない段階では，GはO(G)≠{1}であるかのごとく振舞うだろう．
そしてその場合には，帰納法の仮定によりG/O(G)についてはこの命題が成り立つから，直ちにC
O(G)(a)＝O(C
G(a))となることが分かる．
したがって，もしもO(G)≠{1}とすれば，O(C
G(a))はO(G)の断片だということになる．
Gorensteinは，逆にこれらの断片を寄せ集めれば，O(G)を捉えることができるのではないかと考えた．
ここでAがGの階数２以上の基本可換2-部分群であるとすると，Aの素体上の表現論により，
O(G)＝<CO(G)(a)|1≠a∈A>
となることが直ちに分かる．したがって
X＝<O(CG(a))|1≠a∈A>
なるものを作れば，O(G)がほぼ捉えられたことになる．
「ほぼ」と言ったのは，Xが奇数位数をもち，さらにGの中で正規であることを示せて，初めてO(G)を完全に捉えたと言えるからである．
Xの位数に関しては，Gorensteinは，もしもO(G)≠{1}とすれば，Aの元a, bについて
O(CG(a))∩CG(b)＝O(CG(b))∩CG(a)
が成り立つことに注目した（これを「均衡条件」と呼ぶ）．
実際，この式の両辺とも
CG(a)∩CG(b)∩O(G)
に等しいはずである．
そして，私にはうかがい知れないあるひらめきによって，Gorensteinは次のような予想に到達した．
予想 群Gの基本可換2-部分群Aの任意の二元a, bについて均衡条件が成立すれば，Xは奇数位数をもつ．
Gorensteinは様々な付帯条件の下でこの予想を証明したが，その後，Goldschmidt, BenderはAの階数が３以上という仮定だけで，より一般的な定理をやさしく証明し，これらの定理はsolvable signalizer functor定理と呼ばれている．
これで，Xが奇数位数を持つことは確定した．
Xが正規であるかどうかについてGorensteinは，Xがたとえ正規でなくてもXの正規化群Mは大きな部分郡であろうと考えた．
しかし，Gorensteinが証明できたのは，GのSylow 2-部分群が十分大きければ次のことが成り立つということであった．
「Mの階数２以上の2-部分群の正規化群はMに含まれる．」
一方それ以前に，この「階数２」を「階数１」に強めた場合をBenderが研究し，とくにGが単純群ならば，Gは偶標数，階数１のLie型の群であることを示していた．
この定理自体驚くべき定理であるが，さらに驚くべきことに，彗星のごとく現れたAschbacherは「階数２」の場合にも同様なことが成り立つことを示し，一大センセイションを巻き起こした．
Gorensteinがこのとき，「第二のThompsonが現れた！」と言って喜んだと伝えられている．
以上のような経過を辿って，結局次のような，位数２の元の中心化群についての非常に一般的な定理が得られた．
均衡群定理(Gorenstein-Walter) 有限群Gの交換可能な位数２の元について均衡条件が成り立ち，GのSylow 2-部分群が十分大きければ，Gの任意の位数２の元の中心化群Cに対してO(C)⊂O(G)が成り立つ．
なお，GのSylow 2-部分群が”おおきくない”場合については，Alperin, Brauer, Gorenstein，原田のSylow 2-部分群による特徴付け定理が適用されることを述べておこう．
このような研究を踏まえ，また，N-群の論文に示唆されて，Gorensteinは単純群分類のプログラムを提案した．
１９７２年のことである．
このプログラムの要点を一口で言おうとすれば，「単純群の位数２の元の中心化群は，既知の単純群の位数２の元の中心化群に似ていることを証明せよ」という，まことに当り前のことになってしまう．
「似ている」ことの意味を具体的に述べなければ，まったく無意味である．
Gorensteinはこれについて次のように考えた．
まず，群Xの連正規部分群(subnormal subgroup)Yが非可換単純群の中心拡大であり，かつYの交換子群がY自身と一致するとき，YをXの「準単純成分」と呼ぶ．
そして，群Gのある位数２の元の中心化群HをとったときH/O(H)に準単純成分があれば，Gを「奇数型」の群と呼ぶ．
また，奇数型でない群を「偶数型」の群と呼ぶことにする．
こうして単純群が奇数型の群と偶数型の群とに分けられる．
Lie型の単純群の中では，奇標数のものが奇数型であり，偶標数のものが偶数型である．
Gorensteinは奇数型の単純群Gについては次のことを予想した．
予想 Gのある位数２の元の中心化群Hをとると，Hの準単純成分Kであって，Hの中でのKの中心化群Cが”小さい”ものが存在する．
このようなKを「標準成分」と呼ぶことにしよう．
ここで”小さい”の意味が問題となるが，GorensteinはCの中に位数８の基本可換群が含まれていないことを”小さい”ことであると定義した．
一方，Gorensteinは偶数型の群については，位数２でなく，奇素数位数をもつ元の中心化群について同様のことを提案した．
ちなみに，あまり注目されなかったが，奇素数位数の元の中心化群についても，Brauer-Fowlerの定理と同様の定理は得られていた．
しかし，当初はこのプログラムについては懐疑的な人が多かったようである．
楽天的なGorenstein自身でさえ，このプログラムの中で"discouraging"などという言葉を使って問題の難しさを嘆いているのだから，それも無理のないことだろう．
実際，たとえば，このプログラムの奇数型の群に関する部分を実行するには，次のような大問題を解決する必要があった．
Gを奇数型の単純群とすれば，Gのある位数２の元の中心化群Hをとると，H/O(H)が準単純成分L/O(H)をもっている．
そこで，上記の予想を証明するには，まず，次の予想を証明することが必要となる．
B-予想 Lの中にHの準単純成分Kが含まれている．
O(H)＝{1}であればK＝Lとすればよいが，一般にはそのようなことは望めない．
望めるのはO(H)が何等かの意味で小さいことを示すことである．
すなわち，ここでも核O(H)を如何に処理するかが，この予想の核心なのであった．
この問題の解決とそれに続く有限単純群の分類は，Thompson, Aschbacher, Gorensteinのマッチレースの様相を呈しながら進行して行くことになる．
３．Aschbacherの業績
１９７４年の夏，第一回の谷口国際シンポジウム「有限群論」が札幌と京都で開かれた．
Gorensteinは欠席したが，Thompson, Aschbacherを始めとする錚々たる人々が集まった．
Niceから４年たって我々の前に姿を現したThompsonは，黒々とした頬髯と顎鬚とをたくわえ，初め神学に志したというに相応しい神々しい雰囲気をただよわせていた．
一方，始めて見るAschbacherは，物静かなロックンローラーという雰囲気の青年であった．
このシンポジウムは有限単純群論にとって真に意義深いものであった．
このシンポジウムを境として，有限単純群論は暗中模索の時期を終え，分類に向けて一直線に進みだしたのである．
そのきっかけとなったのは，札幌で発表されたAschbacherの次の大定理である．
成分定理 B-予想が正しければ，奇数型の有限単純群Gのある位数２の元の中心化群Hは標準成分Kをもつ．
ただし，AschbacherはGorensteinとは異なる標準成分の定義を使っており，その定式化の点でも，また証明の方法の面でも真に見事なものであった．
しかも，この定理により単純群分類がにわかに現実味を帯びて来た．
なぜなら，B-予想が解決されれば，少なくとも奇数型の群は分類可能と思われる状態と成ったのである．
同時期に同じ問題を考えていたThompsonは，札幌の前のあるシンポジウムでAschbacherの話を聞き，すぐにすべてを理解し大きな衝撃を受けたという．
気をとり直したThompsonは目標をB-予想の証明に切りかえ研究を始めたが，しかし，この問題は並大抵ではない．
京都でのThompsonの講演はB-予想についての彼の苦心談というようなものであって，その記録も残っていない．
私の手許にあるのは，彼の手書きの簡単な講演原稿のコピーだけである．
それから彼の研究の全貌をうかがうことはできないが，その書きぶり，講演での話し振りからは，彼が壁に突き当たっている様子がうかがえた．
ところが，このシンポジウムの期間中に彼がAschbacher, Walter等に研究の悩みを打ち明け，話し合っているうちに素晴らしい考えが浮かび，次のような驚くべき予想と，それを証明するための壮大かつ具体的なプログラムが出来上がったのである．
壮大な予想(Grand Conjecture) 有限単純群Gのある位数２の元の中心化群HがO(H)≠{1}をみたせば，Gは奇標数のLie型の群か奇数次の交代群に同形となる．
この予想が正しければB-予想も正しく，したがってAschbacherの成分定理により，奇数型の群の分類は標準成分問題に帰着される．
Gorensteinの項で詳しく述べた均衡群定理は，この予想を証明するための出発点であることを注意しておこう．
その後この予想と奇数型の群の標準成分問題は，多くの人々の力を結集することにより，１９８０年頃までに解決されることになる．
ここでもAschbacherは次のような大きい貢献をしている．
ThompsonはB-予想の研究の一環として，おおむね次のようなことを証明しようとしていた．
予想 有限単純群Gの位数２の元aの中心化群がSL(2,q), qは奇素数ベキ，と同形でaを含む連正規部分群をもてば，Gは奇標数のLie型の群と同形である．
Aschbacherはこの予想をより良い形で解決し，それは壮大な予想の解決に重要な役割を果たすことになるのである．
こうして奇数型の群の分類が軌道に乗ったことを見たGorensteinは，Lyonsとともに最後の大場である偶数型の群の研究に着手し，１９７６年になって，偶数型の群の奇素数位数の元の中心化群に関する成分定理を，Aschbacherに先んじて発表した．
証明の公表がかなり遅れたことは釈然としないが，とにかくもこれにより，偶数型の群についても，分類の具体的なプログラムが与えられたことになる．
ただし，偶数型の群では，奇素数位数の元の中心化群が標準成分をもつ場合以外に，例外的な場合が二つあり，そのどれを取っても，解決するのは非常に困難と思えた．
さらに，GorensteinとLyonsは大変な苦労にもかかわらず，e(G)＞3なる場合しか扱うことができなかった．
e(G)≦3なる場合を別個に扱わなければならないとすれば，分類の見通しもまだ暗いと言わざるを得なかった．
ところが，Aschbacherはすぐにこの定理をe(G)＞2なる場合にまで拡張してしまう．
一方，ThompsonのN-群の分類以来，e(G)＝1なる群は「薄い」群と呼ばれ，そのような群を分類することは，難問として知られていた．
札幌シンポジウムの後，Thompsonがこの問題を試みているが，なかなかうまく行かない，というような話がアメリカから伝わっていた．
ところが，これまたAschbacherによって，たちまち解決されてしまったのである．
真に恐るべきAschbacherの力量である．
ここに至って，さすがのThompsonもAschbacherと競うことを諦めたようである．
Thompsonが「単純群の分類はCaliforniaの男（Aschbacherのこと）がするだろう」と言ったという話が伝わっている．
しかしまだ，e(G)＝2なる群，すなわち「ほぼ薄い群」の分類が残っていたが，これにはMasonがいち早く名乗りを挙げ，五六年の苦心の後に解決された．
一方，二つの例外的な場合のうち，２元体上のLie型の群の位数２の元の中心化群による特徴付けの問題は，ドイツの秀才Timmesfeld等により解決され，もう一つの例外的な場合だけが残された．
これは偶数型の群でありながら，奇標数で階数１のLie型の群のBorel部分群と似た性質の2-局所部分群があるという場合である．
ほぼ薄い群の分類をMasonにまかせたAschbacherは，N-群の論文で使われた弱閉包の方法を発展させることにより，このような場合は有り得ないことを示すことに成功した．
こうして，Gorensteinのプログラムが出てから７年足らずの間に，プログラムの困難な部分をAschbacherが驚異的なスピードですべて解決することにより，有限単純群の分類は１９８０年には完成したのである．
（ごみ・けんさく，東京大学・教養学部）
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